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admin 2025-06-13 01:36:00 +00:00
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@ -148,9 +148,7 @@ https://stats.stackexchange.com/questions/490363/interview-question-of-biased-co
- (R) 抛筛子，随时可以停止，得分为当前抛到的总和。但是总和超过 6 就为 0 停止。求最优策略？ - (R) 抛筛子，随时可以停止，得分为当前抛到的总和。但是总和超过 6 就为 0 停止。求最优策略？
解: 设 $ E[X] $ 为当前得分 $ X $ 下的最后的期望得分。 $ X=6: \ E[6] = 6 $ 即总和到 6 就停止； $ X=5: $ 有 $ 1/6 $ 抛到 1 = $ E[6] $ ，其他都是 0，所以 $ E[5] = \max(5, 1/6E[6]) = 5 $ ，所以总和为 5 也停止；我们有 解: 设 $ E[X] $ 为当前得分 $ X $ 下的最后的期望得分。 $ X=6: \ E[6] = 6 $ 即总和到 6 就停止； $ X=5: $ 有 $ 1/6 $ 抛到 1 = $ E[6] $ ，其他都是 0，所以 $ E[5] = \max(5, 1/6E[6]) = 5 $ ，所以总和为 5 也停止；我们有
$ $ E[X] = \max \left( X, \frac{1}{6}(E[X + 1] + \cdots + E[6]) \right) $
E[X] = \max \left( X, \frac{1}{6}(E[X + 1] + \cdots + E[6]) \right)
$
$ E[6] = 6, E[5] = 5, E[4]=4, E[3] = 3, E[2] = 3, E[1] = 3.5 $ 即除了和是 1, 2 继续抛，其他都停止。 $ E[6] = 6, E[5] = 5, E[4]=4, E[3] = 3, E[2] = 3, E[1] = 3.5 $ 即除了和是 1, 2 继续抛，其他都停止。
- 如果是抛到平方数就为 0，则对于较大的 $ n $ ，我们在平方数附近: $ [n^2 - 6, n^2 - 1] $ 就应该停止，因为每经过一个平方数不为 0 的存活概率为 $ 5/6 = \frac{5}{6} $ $ n^2 $ 会趋于 0。具体的上界可以用: - 如果是抛到平方数就为 0，则对于较大的 $ n $ ，我们在平方数附近: $ [n^2 - 6, n^2 - 1] $ 就应该停止，因为每经过一个平方数不为 0 的存活概率为 $ 5/6 = \frac{5}{6} $ $ n^2 $ 会趋于 0。具体的上界可以用: